\section{欧几里德空间的定义与基本性质}

\begin{frame}{内积}

在线性空间中， 向量之间的基本运算只有加法与数量乘法， 统称为\emph{线性运算}。 如果我们以几何空间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型，那么就会发现向量的度量性质，如长度、夹角等，在线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的度量性质在许多问题中(其中包括几何问题) 有着特殊的地位，因此有必要引入度量的概念。

~

\pause
在解析几何中我们看到， 向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的内积来表示， 而且向量的内积有明显的代数性质。 所以在抽象的讨论中，我们取内积作为基本的概念。
\begin{definition}
  设 $V$ 是实线性空间， 在 $V$ 上定义了一个二元实值函数（也称为一个配对）：
  \[
    \pair{\phantom{\alpha},\phantom{\beta}}\colon V\times V\rightarrow \symbf{R},\quad 
    %(\alpha,  \beta)\mapsto \pair{\alpha, \beta},
    \alpha,  \beta \mapsto \pair{\alpha, \beta},
  \]
  称为\emph{内积} (更常见的内积的记号是$\langle\,,\, \rangle$)，若它具有以下性质：
  \pause
\begin{enumerate}
    \item $\pair{ \alpha,   \beta}=\pair{ \beta,   \alpha}$;
      \pause
      \item $\pair{k  \alpha,   \beta}=k\pair{ \alpha,   \beta}$;
        \pause
      \item $\pair{ \alpha+ \beta,  \gamma}=\pair{ \alpha,   \gamma}+\pair{ \beta,   \gamma}$;
        \pause
        \item $\pair{ \alpha,   \alpha} \geqslant 0$, 且等号成立当且仅当 $ \alpha=\symbf{0}$,
      \end{enumerate}
      其中 $ \alpha,  \beta,  \gamma$ 是 $V$ 中任意的向量， $k$ 是任意实数。
      \pause
      带内积的线性空间称为\emph{欧几里得空间}（简称为\emph{欧氏空间}）。
  \end{definition}

\end{frame}

\begin{frame}


在欧几里得空间的定义中， 对它作为线性空间的维数并无要求， 可以是有限维的，也可以是无限维的。

~

\pause
定义中条件 (1) 表明内积是对称的。
\pause
(2), (3) 表明内积关于第一个分量是线性的。
\pause
由对称性，与 (2), (3) 相当地就可以得到内积关于第二分量的线性性：
\begin{enumerate}
  \item[(2')]
$\pair{ \alpha,  k  \beta}= \pair{k  \beta,   \alpha}=k\pair{ \beta,   \alpha}=k\pair{ \alpha,   \beta};$
\item[(3')]
$\pair{ \alpha,  \beta+ \gamma}= \pair{ \beta+ \gamma,  \alpha}=\pair{ \beta,   \alpha}+\pair{ \gamma,   \alpha}=\pair{ \alpha,   \beta}+\pair{ \alpha,   \gamma}.$
\end{enumerate}
\pause
内积关于其两个分量都线性这点也说成是内积是\emph{双线性}的。
\pause
条件 (4) 说成是内积是\emph{正定}的。
\pause
这样，内积就是一个正定、对称、双线性的配对。


~

\pause
几何空间中向量的内积显然适合定义中列举的性质， 所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里得空间。

~

\pause
欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间。


~

\begin{sizheng}
我们以点积引入，强调抽象化、一般化、统一是数学的基本行为。寻求统一并非独属于数学的信仰，
再比如物理中人们正在寻求统一量子力学与广义相对论的大一统理论（超弦理论就是这样一个理论，其最新的构想是M理论，此理论又统一了五种弦理论）。
\end{sizheng}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}\label{17E}
  在线性空间 $\symbf{R}^{n}$ 中，对于向量
\[
 \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right), \quad  \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right),
\]
通过点积可定义配对
\[\tag{1}
  \pair{ \alpha,   \beta}\coloneq \alpha\cdot \beta \coloneq \alpha \beta^{\rT}= a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots+a_{n} b_{n}.
\]
显然，  (1) 适合定义中的条件， 这样， $\symbf{R}^{n}$ 带上点积就成为一个欧几里得空间。点积也称为$\symbf{R}^n$上的\emph{标准内积}。
以后未特别指明时，$\symbf{R}^{n}$ 作为欧几里得空间带上的是标准内积。
在 $n=3$ 时，(1) 式就是几何空间中向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式。

后面我们常用到列向量的版本。线性空间$\bR^{(n)}$中，
\[
  \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)^{\rT}, \quad  \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)^{\rT}
\]
的点积定义了配对
\[
  \pair{\alpha, \beta}\coloneq \alpha\cdot \beta \coloneq \alpha^{\rT} \beta = a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots+a_{n} b_{n}.
\]
这是内积，称为标准内积。
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}


\begin{example}\label{0E7}
  在闭区间 $[a, b]$ 上的所有实值连续函数所成的空间 $C([a, b])$ 中， 对于函数 $f$, $g$, 定义配对
\[
  \pair{f, g}=\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x .
\]
由定积分的性质不难证明，(2)定义了一个内积，使得$C([a, b])$ 成为一欧几里得空间。例如，正定性可如下验证。
显然
\[
  \pair{f, f}=\int_a^b f(x)^2 \mathrm{d}x\geqslant 0.
\]
而且，显然$f=0$ (即$f$取常值$0$) 时，等号成立。
只用证明等号成立蕴含了$f=0$. 设 $\int_a^b f(x)^2 \mathrm{d}x=0$.
为了反证，设存在$c\in [a,b]$使得$f(c)=C\neq 0$, 故$f(c)^2=C^2>0$.
注意到$f$连续时$f^2$也连续。因此，存在长度大于$0$的闭区间$[a',b']$, 满足$c\in [a', b']\subset [a,b]$, 
使得$x\in [a',b']$时$f(x)^2\geqslant \frac{C^2}{2}$. 此时
\[
\begin{aligned}
  \int_a^b f(x)^2 \mathrm{d}x &
  =\int_a^{a'} f(x)^2 \mathrm{d}x 
  + \int_{a'}^{b'} f(x)^2 \mathrm{d}x 
  + \int_{b'}^{b} f(x)^2 \mathrm{d}x 
  \geqslant \frac{C^2}{2}(b'-a') > 0,
\end{aligned}
\]
与$\int_a^b f(x)^2 \mathrm{d}x=0$矛盾了。因此，只有$f=0$.

同样地，线性空间 $\symbf{R}[x], \symbf{R}[x]_{n}$ 对于内积 (2) 也构成欧几里得空间。
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{example}\label{17D}
实线性空间$\symbf{R}^{n\times m}$上的配对$\pair{A, B}=\tr(A^{\rT}B)$定义了$\symbf{R}^{n\times m}$上的内积。
易知，若$A=(a_{ij}), B=(b_{ij})\in \symbf{R}^{n\times m}$, 则
\[\tag{$*$}
  \pair{A, B}=\tr(A^{\rT}B)=\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n a_{ij}b_{ij}.
\]
我们来逐条验证上面的配对满足内积所要求的条件：\\
(1) 对称性：对方阵$M$显然有$\tr M^{\rT}=\tr M$, 因此
    \[
      \pair{A, B}=\tr(A^{\rT}B)=\tr (A^{\rT}B)^{\rT}=\tr (B^{\rT}A)=\pair{B, A}.
    \]
    (2)(3) 对第一个分量的线性性：
    令$A=(a_{ij})$,  
    $B=(b_{ij})$, $C=(c_{ij}) \in \bR^{n\times m}$, $k\in \bR$, 
    那么应用公式($*$)可知
    \[
      \begin{aligned}
        \pair{k A, B}&= \sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n k a_{ij}b_{ij}  
        = k \sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n a_{ij}b_{ij}  
        = k\pair{A, B}, \\
        \pair{A+C, B}&= \sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n (a_{ij}+c_{ij})b_{ij} 
        = \sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n a_{ij}b_{ij} + \sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n c_{ij}b_{ij} 
        = \pair{A, B}+\pair{C, B}.
      \end{aligned}
    \]
    (4) 正定性：由($*$)知
    \(
      \pair{A, A}=\tr(A^{\rT}A)=\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n a_{ij}^2\geqslant 0,
    \)
    且等号取得当且仅当所有$a_{ij}=0$ ($1\leqslant i\leqslant n, 1\leqslant j\leqslant m$), 亦即$A=0$.
\end{example}

\end{frame}

\begin{frame}{度量}

  对于任意的向量 $ \alpha$, 条件 (4) 说了 $\pair{ \alpha,   \alpha} \geqslant 0$,
  因此$\sqrt{\pair{ \alpha,   \alpha}}$ 是有意义的。 
\pause
  在几何空间中， 向量 $ \alpha$ 的长度为 $\sqrt{\pair{ \alpha,   \alpha}}$. 
\pause
  类似地， 我们在一般的欧几里得空间中引进
\begin{definition}
非负实数 $\sqrt{\pair{\alpha,  \alpha}}$ 称为向量 $ \alpha$ 的\emph{长度}， 记为 $| \alpha|$.
\end{definition}

\begin{enumerate}
  \item 显然 $|\alpha|\geqslant 0$, 且等号取得当且仅当$\alpha=0$. 
    换言之，向量的长度一般是正数， 只有零向量的长度才是零。
  \item 
%这样定义的长度符合熟知的性质：
    长度有如下的齐次性：
\[\tag{3}
  |k  \alpha|=|k|| \alpha|,\quad \text{其中 $k \in \symbf{R},  \alpha \in V$.}
\]
事实上，
\[
|k  \alpha|=\sqrt{\pair{k  \alpha,  k  \alpha}}=\sqrt{k^{2}\pair{ \alpha,   \alpha}}=|k|| \alpha| .
\]
\item 
长度为 $1$ 的向量称为\emph{单位向量}。 
\pause
如果 $ \alpha \neq \symbf{0}$, 由 (3) 式，向量
\[
\frac{1}{| \alpha|}  \alpha
\]
就是一个单位向量。
用向量 $\alpha$ 的长度去除向量 $\alpha$, 得到一个与 $\alpha$ 成比例的单位向量，通常称为把 $ \alpha$ \emph{单位化}或\emph{规范化} (normalization)。
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}

  在解析几何中， 向量 $ \alpha,  \beta$ 的夹角 %$\angle( \alpha,  \beta)$ 
  $\langle \alpha, \beta\rangle$
  的余弦可以通过内积来表示， 即
  \[\tag{4}
  %\cos \angle( \alpha,  \beta)
    \cos \langle \alpha, \beta \rangle
  =\frac{\pair{ \alpha,   \beta}}{| \alpha|| \beta|} .
\]
\pause
为了在一般的欧几里得空间中利用 (4)引入夹角的概念， 我们需要证明不等式
\[
  \left|\frac{\pair{ \alpha,   \beta}}{| \alpha|| \beta|}\right| \leqslant 1.
\]
\pause
这就是所谓的 Cauchy-Bunyakovsky-Schwartz 不等式。

\pause
\begin{lemma*}[Cauthy-Bunyakovsky-Schwartz 不等式]
对于任意的向量 $ \alpha,  \beta$, 有
\[\tag{5}
|\pair{ \alpha,   \beta}| \leqslant| \alpha|| \beta| .
\]
当且仅当 $ \alpha,  \beta$ 线性相关时，等号才成立。
\end{lemma*}

\pause
\begin{definition}
  非零向量 $ \alpha,  \beta$ 的\emph{夹角} %$\angle( \alpha,  \beta)$
  $\langle \alpha, \beta\rangle$
  规定为
%  (课本上用的记号为$\pair{\alpha, \beta}$, 与我们的内积记号有冲突) 
\[
  %\angle( \alpha,  \beta)
\langle \alpha, \beta\rangle
  =\arccos \frac{\pair{ \alpha,   \beta}}{| \alpha|| \beta|}\in [0, \pi].
\]
\end{definition}


\end{frame}

\begin{frame}
  在证明Cauthy-Bunyakovsky-Schwartz 不等式之前，我们看几个具体的例子及一个推论。
  \begin{example}
    对于例~\ref{17E}~的空间 $\symbf{R}^{n}$, Cauthy-Bunyakovsky-Schwartz 不等式就是经典的Cauthy不等式：
      \[
        \left|a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots+a_{n} b_{n}\right| \leqslant \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{n}^{2}} .
  \]
\end{example}

\begin{example}
  对于例~\ref{0E7}~的空间 $C([a, b])$, Cauthy-Bunyakovsky-Schwartz 不等式就是下面这个著名的积分不等式（可以想作是经典Cauthy不等式的连续版本）：
\[
\left|\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant\left(\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{2}} .
\]
这个不等式也可从经典 Cauthy 不等式推出。诚然，令$x_i=a+\frac{i}{n}(b-a)$ ($i=0,1,\cdots,n$).
对$1\leqslant i\leqslant n$, 任取$\xi_i\in [x_{i-1}, x_i]$.
由Cauthy不等式得不等式
\[
 \left| \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)g(\xi_i)\right|\leqslant
\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)^2\right)^{\frac{1}{2}} 
\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n g(\xi_i)^2\right)^{\frac{1}{2}}.
\]
令$n\rightarrow +\infty$就得到上面的积分不等式。
\end{example}
  \end{frame}


\begin{frame}

  \begin{exercise}
  \begin{enumerate}
    \item 对于例~\ref{17D}~的空间$\symbf{R}^{n\times m}$, Cauthy-Bunyakovsky-Schwartz 不等式是？
    \item 对$A\in \symbf{R}^{n\times m}, B\in \symbf{R}^{m\times n}$, 证明$\tr(AB)=\tr(BA)$.
    \item 证明：若 $A, B\in \symbf{R}^{n\times n}$是实对称矩阵，则 $\tr(ABAB)\leqslant \tr(AABB)$.
  \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{corollary}[三角形不等式]\label{113}
  \vspace{-1em}
    \[\tag{7}
  |\alpha+\beta| \leqslant|\alpha|+| \beta| .
\]
\end{corollary}
\pause
  \begin{proof*}[三角形不等式的证明]
这是因为
\[
  \begin{aligned}
    |\alpha+\beta|^{2} & =\pair{\alpha+\beta, \alpha+\beta}=\pair{\alpha,  \alpha}+2\pair{\alpha,  \beta}+\pair{\beta,  \beta} \\
    & \leqslant|\alpha|^{2}+2|\alpha||\beta|+|\beta|^{2}=(|\alpha|+|\beta|)^{2}.
\end{aligned}
\]
%所以
%\[
%|\alpha+\beta| \leqslant|\alpha|+|\beta| .
%\]
\end{proof*}
  \end{frame}


\begin{frame}

\pause
  \begin{proof*}[Cauthy-Bunyakovsky-Schwartz 不等式的证明]
    若$\beta=0$则显然有$|\pair{\beta, \alpha}|= \norm{\beta}\norm{\alpha}$, 且$\alpha, \beta$线性相关。
    设$\beta\neq 0$.
  由内积的正定性知$\norm{t\beta+\alpha}^2\geqslant 0$总成立，对任意的$t\in \symbf{R}$. 亦即
  \[\tag{6}
    t^2\norm{\beta}^2 + 2t\pair{\beta, \alpha}+\norm{\alpha}^2\geqslant 0
  \]
  总成立。
  因此，关于$t$的二次多项式(6)的判别式满足
  \[
    4(\pair{\beta, \alpha}^2-\norm{\beta}^2 \norm{\alpha}^2) \leqslant 0,
  \]
  亦即
  \(
    |\pair{\beta, \alpha}|\leqslant \norm{\beta}\norm{\alpha}.
  \)
  若等号成立，存在$t=t_0$使得$\norm{t_0\beta+\alpha}^2=0$, 故$t_0\beta+\alpha=0$, 从而$\beta, \alpha$线性相关；
  反过来，若$\beta, \alpha$线性相关，则由$\beta\neq 0$可知对某个$c\in \bR$有$\alpha=c\beta$, 从而
  \[
    |\pair{\alpha,\beta}|=|\pair{c\beta, \beta}|=|c\pair{\beta, \beta}|=|c|\pair{\beta,\beta}=|c|\norm{\beta}^2=\norm{\alpha}\norm{\beta}.
\]
%当 $ \beta=\symbf{0}$ 时， (5) 式显然成立。 以下设 $ \beta \neq \symbf{0}$. 令 $t$ 是一个实变数，作向量
%\[
%  \gamma=\alpha+t \beta .
%\]
%由内积的正定性可知，不论 $t$ 取何值一定有
%\[
%  \pair{ \gamma,   \gamma}=\pair{ \alpha+t  \beta,  \alpha+t  \beta} \geqslant 0 .
%\]
%即
%\[
%\pair{ \alpha,   \alpha}+2\pair{ \alpha,   \beta} t+\pair{ \beta,   \beta} t^{2} \geqslant 0 .
%\]
%从而判别式
%\[
%4\pair{ \alpha,   \beta}^{2} - 4\pair{ \alpha,   \alpha}\pair{ \beta,   \beta} \leqslant 0.
%\]
%进而
%\[
%|\pair{ \alpha,   \beta}| \leqslant| \alpha|| \beta| .
%\]
%当 $ \alpha,  \beta$ 线性相关时，等号显然成立。反过来，如果等号成立，由以上证明过程可以看出，或者 $ \beta=\symbf{0}$,或者
%\[
%\alpha-\frac{\pair{ \alpha,   \beta}}{\pair{ \beta,   \beta}}  \beta=\symbf{0}
%\]
%也就是说 $ \alpha,  \beta$ 线性相关。 
\end{proof*}

\end{frame}

\begin{frame}{正交}
  \begin{definition}
  如果向量 $ \alpha,  \beta$ 的内积为零， 即
  \[
  \pair{ \alpha,   \beta}=0,
\]
那么 $\alpha, \beta$ 称为\emph{正交}或\emph{互相垂直}，记为 $\alpha \perp \beta$.
\end{definition}

\pause
显然，这里正交的定义与解析几何中对于正交的说法是一致的。 两个非零向量正
交的充分必要条件是它们的夹角为 $\frac{\pi}{2}$.
由定义立即看出，只有零向量才与自己正交。

\pause
\begin{lemma*}[勾股定理]
  若$ \alpha\perp  \beta$, 则
  \[
  | \alpha+ \beta|^{2}=| \alpha|^{2}+| \beta|^{2} .
\]
\end{lemma*}

\pause
\begin{proof}
\[
  | \alpha+ \beta|^{2}=\pair{ \alpha+ \beta,  \alpha+ \beta}=\pair{ \alpha,   \alpha}+\pair{ \beta,   \beta}=| \alpha|^{2}+| \beta|^{2} .
\]
\end{proof}

\pause
不难把勾股定理推广到多个向量的情形，即如果向量 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{m}$ 两两正交，那么
\[
\left| \alpha_{1}+ \alpha_{2}+\cdots+ \alpha_{m}\right|^{2}=\left| \alpha_{1}\right|^{2}+\left| \alpha_{2}\right|^{2}+\cdots+\left| \alpha_{m}\right|^{2} .
\]
\end{frame}

\begin{frame}{度量矩阵}
在以上的讨论中，我们对空间的维数没有作任何限制。 从现在开始，我们假定空间是有限维的。

\pause
设 $V$ 是一个 $n$ 维欧几里得空间， 在 $V$ 中取一组基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$, 对 $V$ 中任意两个向量
\[
 \alpha=x_{1} \varepsilon_{1}+x_{2}  \varepsilon_{2}+\cdots+x_{n}  \varepsilon_{n}, \quad  \beta=y_{1}  \varepsilon_{1}+y_{2}  \varepsilon_{2}+\cdots+y_{n}  \varepsilon_{n},
\]
\pause
由内积的性质得
\[
  \pair{ \alpha,   \beta}=\pair{x_{1}  \varepsilon_{1}+x_{2}  \varepsilon_{2}+\cdots+x_{n}  \varepsilon_{n}, y_{1}  \varepsilon_{1}+y_{2}  \varepsilon_{2}+\cdots+y_{n}  \varepsilon_{n}}
  =\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\pair{ \varepsilon_{i},  \varepsilon_{j}} x_{i} y_{j} .
\]
\pause
令
\[\tag{8}
  a_{i j}=\pair{\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}}, \quad i, j=1,2, \cdots, n,
\]
由内积的对称性知
\[
a_{i j}=a_{j i} .
\]
\pause
于是
\[\tag{9}
  \pair{ \alpha,   \beta}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} y_{j}.
\]

\end{frame}

\begin{frame}

  \begin{exercise}\label{1BE}
    令
    \begin{gather*}
X= (x_1,\cdots,x_n)^{\rT}\in P^{(n)}, \quad
  Y= (y_1,\cdots,y_n)^{\rT}\in P^{(n)}, \quad
    A= (a_{ij})\in P^{n\times n}. 
\end{gather*}
  那么
    \[
      X^{\rT}AY=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}x_iy_j.
    \]
  \end{exercise}

利用矩阵， $\pair{ \alpha,   \beta}$ 还可以写成
\[\tag{10}
  \pair{ \alpha,   \beta}= X^{\mathrm{T}}  A Y,
\]
其中
\[
   X=(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} )^{\rT}, \quad 
   Y=(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n})^{\rT}
\]
分别是 $ \alpha,  \beta$ 的坐标，而对称矩阵
\[
  A=\begin{pmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{pmatrix}
\]
称为基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 的\emph{度量矩阵}。 
\pause
上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按 (9) 或 (10) 来计算，因而度量矩阵完全确定了内积。
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{lemma}
  \begin{enumerate}
    \item 令$\symbb{B}, \symbb{B}'$是$n$维欧氏空间$V$的两组基，$\symbb{B}$到$\symbb{B}'$的过渡矩阵为$Q$. 
      若$\symbb{B}$的度量矩阵为$A$, 则$\symbb{B}'$的度量矩阵为$Q^{\rT} A Q$.  因而不同基的度量矩阵是合同的。
  \item 度量矩阵是正定矩阵。
\item 取定$n$维实线性空间$V$的一组基后，把内积映到其度量矩阵定义了$V$上内积与$n$阶正定矩阵之间的一一对应。
  这样，度量矩阵恰为正定矩阵。
\end{enumerate}
\end{lemma}
  \begin{proof}
  \begin{enumerate}
    \item 令$\symbb{B}'$的度量矩阵为$A'$. 对$\alpha=\symbb{B}' X, \beta=\symbb{B}' Y\in V$, 
    $\alpha,\beta$在基$\symbb{B}$下的坐标向量为$QX, QY$. 
    这样
    \[
      X^{\rT} A'Y=\pair{\alpha, \beta}=( Q X )^{\rT} A \left( Q Y \right).
    \]
    故
    \[\tag{$*$}
      X^{\rT} A' Y=X^{\rT} \left( Q^{\rT} A Q \right) Y.
    \]
    由于$X, Y\in \symbf{R}^{(n)}$任意，可知 $A'=Q^{\rT} A Q$; 
    实际上，令 $e_i$为第$i$分量为$1$其余分量为$0$的$n$维列向量，
    那么取$X=e_i, Y=e_j$代入($*$)两边分别得到$A', Q^{\rT}AQ$的$(i,j)$ 元素 (应用练习~\ref{1BE})，
    因此$A', Q^{\rT}AQ$ 的$(i,j)$元素相等。
  \item    设欧氏空间$V$的一组基$\symbb{B}$的度量矩阵为 $A$.
    由内积的对称性可知$A$为对称矩阵。为了证明$A$正定，令$X\in \bR^{(n)}$.
      对$\alpha=\symbb{B} X\in V$ 有 $\pair{\alpha, \alpha}= X^{\rT} AX$. 
      由内积的正定性知 $X^{\rT} AX\geqslant 0$, 且等号成立当且仅当$\alpha=0$当且仅当$X=0$.
      这样 $A$正定。
    \item {\verify} （参见例~\ref{155}。）
  \end{enumerate}
\end{proof}
\end{frame}

  \iffalse
\begin{frame}%{度量矩阵恰为正定矩阵}

设 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}$ 是空间 $V$ 的另外一组基， 而由 $\varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}$ 到 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}$ 的过渡矩阵为 $C$, 即
\[
\left( \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}\right)=\left( \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}\right)  C .
\]
\pause
于是不难算出{\verify}，基 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}$ 的度量矩阵
\[
 B=\left(b_{i j}\right)_{n \times n}= C^{\mathrm{T}}  A  C,
\]
其中 $ b_{i j}=\pair{ \eta_{i},  \eta_{j}}$. 
\pause
这就是说， 不同基的度量矩阵是合同的。

\pause
根据条件 (4), 对$ \alpha\neq 0$, 即
$ X \neq 0,$
有
\[
\pair{ \alpha,   \alpha}= X^{\mathrm{T}}  A  X>0,
\]
因此， 度量矩阵是正定的。

\pause
反之， 给定一个 $n$ 阶正定矩阵 $ A$ 及 $n$ 维实线性空间 $V$ 的一组基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$. 可以规定 $V$ 上内积，使它成为欧几里得空间，并且基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 的度量矩阵为 $ A$. （见例~\ref{155}）

\pause
综上所述，给定$n$维线性空间$V$, 固定$V$的一组基时，我们有$n$阶正定矩阵与$V$上的内积的一一对应。
\end{frame}
\fi

\begin{frame}
  \begin{example}\label{155}
    令$V$为有限维实线性空间，$\symbb{B}$为$V$的一组基。 令$A\in \symbf{R}^{n\times n}$. 我们有$V$上的双线性配对：
    \[
      \pair{\alpha, \beta} = X^{\rT} A Y,\quad \text{对任意的$\alpha, \beta\in V$},
    \]
    其中$X, Y$分别为$\alpha, \beta$在基$\symbb{B}$下的坐标向量。
    $\pair{\;,\;}$对称当且仅当$A$是对称矩阵。
    $\pair{\;,\;}$是内积当且仅当$A$是正定矩阵；此时，$A$就是$\symbb{B}$的度量矩阵。
  \end{example}
  \pause
  \begin{exercise}
    下列$\symbf{R}^{(3)}$上的配对能定义内积的是（\quad）

    \twochoice{A. $\pair{\alpha, \beta}=\alpha^{\rT}\begin{pmatrix}
      1 & 0 & 2 \\
      -1 & 0 & 4 \\
      2 & 2 & 3
  \end{pmatrix}\beta$}
  {B. $\pair{\alpha, \beta}=\alpha^{\rT}\begin{pmatrix}
      1 & -1 & 2 \\
      -1 & 1 & 4 \\
      2 & 4 & 3
  \end{pmatrix}\beta$}

    \twochoice{C. $\pair{\alpha, \beta}=\alpha^{\rT}\begin{pmatrix}
      1 & -1 & 2 \\
      -1 & 2 & 4 \\
      2 & 4 & 3
  \end{pmatrix}\beta$}
  {D. $\pair{\alpha, \beta}=\alpha^{\rT}\begin{pmatrix}
      7 & -1 & 2 \\
      -1 & 7 & 4 \\
      2 & 4 & 7
  \end{pmatrix}\beta$}
  \end{exercise}

\pause
\begin{exercise}\label{0E9}
  设$v_1, \cdots, v_s$是欧氏空间$V$中$s$个元素。定义$s$阶方阵
  $G=(g_{ij})$, 其中$g_{ij}=\pair{v_i, v_j}$.
  证明$G$可逆当且仅当$v_1, \cdots, v_s$线性无关。
\end{exercise}


\end{frame}

\begin{frame}{小结}

  \begin{enumerate}
    \item 何为实线性空间上的内积？何为欧几里得空间？
    \item 举例欧氏空间。
    \item 向量的长度如何定义？两向量的夹角如何定义？我们需要何不等式？
    \item 举例Cauthy-Bunyakovsky-Schwartz不等式？
    \item 何为正交？勾股定理？
    \item 为何引入基的度量矩阵？有了度量矩阵后，如何用坐标表示内积？
    \item 取定$n$维欧氏空间的基时，该空间上的内积如何与$n$阶正定矩阵一一对应？
    \item 随手写出一个与点积不同的$\symbf{R}^n$上的内积。
  \end{enumerate}
  
\end{frame}
